螺旋錐齒輪具有傳動平穩、承載能力大、噪聲低等優點，廣泛應用于航空、航天和工程機械傳動系統中。磨頭是磨床的核心部件，它不僅能承受內齒輪和齒輪箱激振力產生的振動，還要承受工作時鋼坯沖擊力產生的振動。
磨床磨頭采用螺旋錐齒輪傳動，齒輪副不僅產生復雜的接觸應力，而且在激振力的作用下產生機械振動。當激振力的頻率接近齒輪副的固有頻率時，會發生共振，產生嚴重的噪聲，甚至齒輪副完全失效。模態分析是分析系統更復雜的動態特性的基礎和前提條件。為了更準確地得到系統的動態性能結果，首先要得到符合系統實際情況的模態分布結果。因此，分析弧齒錐齒輪的固有振動特性，找出其在工作狀態下的薄弱環節，通過改進結構設計來避免共振的發生具有重要意義。這將提高弧齒錐齒輪的疲勞強度和壽命，具有重要的實際應用價值。
近年來，齒輪是傳動系統的核心零件，中外學者針對不同應用場合的齒輪嚙合對接觸、剛度和動力學等開展了理論和實驗研究 。Hou 等基于矢量形式內稟有限元法，推導了 8 節點六面體單元的計算公式，并將其應用于齒輪的接觸分析中。該方法能夠精確地分析粗糙嚙合模型下的齒輪嚙合問題，但是對于精確傳動的齒輪力學精度尚待驗證，而且該方法通用性不強。劉明勇等利用有限元軟件在考慮齒輪嚙合時會產生塑性變形、齒面摩擦、溫度以及材料線性強化等因素影響，研究了斜齒輪嚙合過程中齒面接觸力分布。楊博會等利用有限元法分析了不同幾何傳動誤差的齒輪副的接觸應力、承載傳動誤差，得到在特定工況下隨著傳動誤差的增大，邊緣接觸程度減少。紀紅等通過對弧齒錐齒輪齒面進行接觸分析，采用磨齒的方法加工齒輪，借助三坐標測齒對弧齒錐齒輪進行加工和檢測，對復雜速比的弧齒錐齒輪設計和加工，提供了有效的解決方案。任海果等計算了 5 個螺旋齒輪在不同腹板厚度下的自振特性，總結了幾種基本的低階模態。Faydor 等給出了三齒弧齒錐齒輪有限元接觸分析方法。劉坤等為驗證高壓泵斜齒輪結構的可靠性對輪齒嚙合處的受力情況進行靜態分析，同時為避免共振的發生進行模態分析，得到系統的振動特性和固有頻率通過分析，驗證了結構的合理性。李飛等分析了摩擦因數、重合度對傳動系統振動幅值的影響。得到不同工況下摩擦因數不同，隨著潤滑油的變化產生一定的規律。李源等利用有限元軟件分析了航空弧齒錐齒輪的嚙合過程。欒孝馳等針對某型航空發動機傳動錐齒輪在使用中因行波共振造成的從動輪斷裂失效問題，采用仿真分析與試驗驗證相結合的方法，研究弧齒錐齒輪參數調節狀態下的行波共振特性及其影響規律。李盛鵬等在考慮轉速和 傳動力矩引起的預應力利用 ansys 軟件對錐齒輪動頻率進行了分析，得出離心力和嚙合扭矩對弧齒錐齒輪的振動頻率有一定的影響。
綜上所述，學者們通過實驗、理論分析法或有限元方法對齒輪的固有頻率和振型進行了大量的研究。但是，鮮見實際工況下動態接觸模態分析問題的研究。因此，現針對某鋼鐵公司磨床的需求，設計了一套磨頭齒輪減速器，采用螺旋錐齒輪傳動。為了保證模態數據與實際工況的一致性，應建立磨床磨頭傳動系統的精確模型，并將約束因素作為實際狀態施加在齒輪上，在進行模態計算時，接觸模態分析將邊界條件添加到對象上，如此分析將更接近工程實際情況。利用有限元分析軟件研究穩態工況下有、無接觸情況下的固有特性和振動模態，為弧齒錐齒輪的疲勞壽命及設計提供可靠的理論依據。
一、動力學方程及接觸模態分析理論
在穩定的工作狀態下，磨床磨頭的應力會影響因負載恒定而產生的固有頻率。因此，在進行模態分析時，考慮預應力的影響是很重要的。預應力模態計算的基本過程如下：首先進行線性靜力分析， 然后考慮隨時間變化的荷載，以及質量、阻尼等慣量的影響。
動力學方程
在經典力學理論中， n 自由度系統的結構動力學方程為
式(1)中：M 為質量矩陣；C 為阻尼矩陣；K 為剛度矩陣；F 為力向量；x 、
分別為位移矢量、速度矢量和加速度。
不考慮阻尼效應時，系統將進行自由振動，即C= 0，F= 0，式(1)與式(2)等價。
得到特解為
式(3)中：φ 為自由響應的位移振幅向量矩陣;ω 為頻率向量;t 為時間;α 為待定的值。
將式(3)代入式(2)中得到振型方程為
式(4)中：ω2 為特征值；φ 為特征向量。
當 φ 不為零時，式(4)是一個廣義特征值問題。
它也是一個 n 階代數齊次數組，以 φ 的元素為變量，方程非零解的充要條件是其系數矩陣的行列式等于零，即
式(5)稱為式(4)特征值問題的特征方程，是關于頻率 ω2 的 n 次代數方程。當沒有相等的根時，得到 n 個大于零的不同根 ω0i (i = 1，2，…，n) ，即 0 < ω01 < ω02 < … < ω0n 。其中，ω0i 為振動系統的第 i 階主頻率，為結構的固有頻率，為相應的無阻尼振動系統。當將每個 ω0i (i = 1，2，…，n)代入式(4) ，可得含有 n - 1個關于 φi 的獨立方程的代數數組。然后，得到線性無關的非零向量 φi 的 n 個解式(6) 。用歸一法，得到主振型，這是一個無阻尼的振動系統，因此它是實向量的固有振型。
特征值和特征向量是系統的特征參數，特征向量 φi 為 n 維列向量，方程(7)是一個n × n階矩陣。它是系統的特征向量矩陣，也稱為模態矩陣。
接觸模態分析
接觸模態是指齒輪傳動系統在實際工況下的固有頻率和振型分布。由于介質阻尼的存在，齒輪系統的模態與真空和油中的有一定的差異。接觸模態分析增加了實際情況的邊界條件，結果更接近實際工程情況。
在求解接觸模態的過程中，首先進行線性靜力分析，然后得到用于結構分析計算的應力剛度矩陣 ( σ0 → S )，最后利用式(8)求解接觸模態。
式(8)中：ω0i 為振動頻率;φi 為模態。
計算固有頻率和振型的方法有很多，如矩陣迭代法、子空間迭代法、lanczos 法等。Lanczos 法，可以快速從復雜模型中提取多階模態，集成于 Ansys 中。分析后可以通過圖形顯示分析和使用結果。
Ansys Workbench 中接觸模態分析的一般流程和步驟如圖 1 所示。在穩定的工作狀態下，磨床磨削頭的應力會影響因負載恒定而產生的固有頻率。因此，在進行模態分析時，考慮預應力的影響是很重要的。預應力模態計算的基本過程如下：首先進行線性靜力分析，然后在第一步的基礎上求解結構的固有特性。
二、格里森螺旋錐齒輪設計與模型建立
為某鋼鐵企業開發的修磨頭傳動采用的是格里森弧齒輪，首先必須確定該種復雜齒輪的各種設計參數。
格里森螺旋錐齒輪副的設計
已知輸入軸的轉矩 T1 = 2 100 N·m，大齒輪是主動輪，轉速 1 500 r / min，而小齒輪安裝于主軸上轉速 2 000 ～ 3 500 r / min。基準齒制參數為：法向壓力角為 αn = 20°，齒頂高系數為 h∗a = 0. 85，頂隙系數 為 c ∗ = 0. 188，螺旋角 βm = 35°。
齒輪由電機驅動，兩輪軸交角 Σ = 90° ，大齒輪安裝于輸入軸一端懸臂支承，小齒輪安裝于輸出軸兩端由軸承支承于箱體上。弧齒錐齒輪的參數非常多，限于本文的篇幅和重點，文中忽略了參數的計算過程，最終確定的齒輪的基本參數設計出二維圖( 圖 2 ) 。建立三維圖完成裝配，如圖 3 所示。
格里森弧齒錐齒輪的實體模型的建立
格里森弧齒輪結構復雜，為了精確模擬齒輪在工作狀態下的受力情況，必須建立合適的分析模型，以更接近實際情況。綜合考慮計算精度的影響及有限元模型的計算規模，對部分局部特征進行了簡化根據圣維南原理，對局部特征進行了簡化。對齒輪分析而言，模型的簡化主要從以下方面著手：①忽略在工作過程中僅起連接作用弧齒錐齒輪與軸連接的鍵及固定螺栓和孔特征;②忽略主動輪和被動輪端面的螺紋、倒角特征和各處的過渡圓角，將質量進行等效分布。
三、有限元分析前處理過程
有限元模型的建立
有限元模型建立的幾個關鍵問題包括單元類型的選擇、網格尺寸的控制、網格劃分密度、單元的階數等。設置平均單元邊長為 2 mm，選取網格劃分方式為自動劃分。齒輪的材料為 20CrMnTi 彈性模量 E = 2. 07 × 105 MPa，泊松比 μ = 0. 254，材料密度7 830 kg / m3 。
創建接觸對
在一定的工作載荷下，使格里森弧齒錐齒輪的接觸比保持在合理的范圍內，可以使輪齒剛度的變化相對柔和，降低齒輪引起的振動噪聲和強度失效的風險。
螺旋錐齒輪在滿負荷條件下的接觸比計算式為
式(9)中：εr、εα 、εβ 分別為總重合度、端面重合度和縱向重合度。
齒輪副的重合度為 2.3，由重合度的要求可知弧齒錐齒輪同時參與嚙合的齒對數最多為 3 對，因此采取三齒嚙合模型進行接觸模態分析。齒輪接觸采用實體模型為面?面接觸。設置三對接觸對，其中大齒輪為主動輪作為接觸面，小齒輪為被動輪作為目標單元，摩擦系數為 0.06。
約束與加載
文中分別分析齒輪自由模態和接觸模態，前者不需要對模型施加任何約束和載荷，而接觸模態分析比前者復雜得多。根據實際工作條件，在輸入軸上施加2100 N·m的扭矩，而在主軸上施加 890 N·m 的阻力扭矩。圓柱約束施加在軸承上，這使得齒輪只能繞軸承的軸線旋轉。
四、格里森弧齒錐齒輪模態分析
無預載荷模態仿真
模態分析主要用于確定格里森齒輪的內在特征，在此基礎上可以確定齒輪的設計是否合理，通過優化使齒輪零件滿足生產對質量和精度的要求。從軟件中得到齒輪自由模態下前 10 階固有頻率如表 1 所示。
每一個模態的固有頻率對應一個振型圖，其中，自由模態分析中前 3 階是 3 個方向的剛體模態，頻率都近似為 0，僅僅是上下和左右振動沒有實際工程意義，故在此忽略。圖 4 為第 4 ～ 第 10 階的振型圖，從頻率振型圖能夠得到以下結論：第 4 ～ 第 6 階也為剛體模態，但是他們的數值遠遠大于 0。第 4 階，大小齒輪各有一端軸向振動；第 5 階，大小齒輪各有一端軸向振動，相似于第 4 階;第 6 階大齒輪對角軸向振動，小齒輪有一端軸向振動；第 7 階模態其實是真實的第一階模態，大齒輪周向滾動振動，小齒輪左右搖擺振動；第 8 階， 大齒輪對角軸向振動，小齒輪有一端軸向振動;第 9 階，大齒輪周向滾動振動，小齒輪對角軸向振動；第 10 階，大齒輪四端軸向振動，小齒輪周向對折振動。
齒輪的接觸應力分析
在穩定工作狀態下得到齒輪的等效應力云圖和等效位移云圖分別如圖 5 (a) 和圖 5 ( b) 所示。從圖 5(a)可以看出，最大等效應變發生在從動輪齒面接觸處，其值為 1. 396 × 103 m。圖 5 (b) 是兩對齒嚙合的應力云圖;由應力的云圖可以看出，應力主要集中在接觸部位和齒根，該位置嚙合最大應力發生在小齒輪嚙入齒的齒根處，最大應力值為 311. 37 MPa，小于材料的許用接觸疲勞應力。圖 6 為大、小齒輪接觸考慮摩擦時的總接觸應力云圖，最大接觸應力分別為 278. 208 MPa 和 311. 37 MPa。對圖 6(a) 和 圖 6(b) 進行比較可知，齒輪副在運轉過程中，其接觸位置的應力應變最大，齒根應力與接觸印痕的移動方向一致，因為接觸應力比齒根應力大許多，所以齒根應力顯示不明顯。
齒輪的接觸模態分析
通常情況下，低階固有頻率的振動對結構的動力性能影響很大，而遠離振源的模態頻率對結構振動的實際貢獻很小。因此，在進行滿足工程需要的接觸模態分析時，通常可以提取系統的前 6 階固有頻率和相應的振型。
在靜力分析的基礎上，對螺旋錐齒輪副進行了接觸模態分析，得到了相關的頻率和振型(表 2)和齒輪副的前 6 階振型如圖 7 所示。與自由模態分析的結果進行了比較，得出如下結論。
(1)在預應力狀態下，齒輪副的固有頻率略有增加，各階振動模態與未施加預應力時相似。接觸模態狀態下，對齒輪的動態特性影響不大。第 1 階為主動齒輪和被動齒輪的圓周振動和滾動振動，被動齒輪的徑向振動和拉伸振動;第 2 階是被動齒輪一端上下振動;第 3 階是被動齒輪從一側振動到另一側;第 4 階為被動齒輪振動向相對方向折疊;第 5 階是被動齒輪沿 4 個方向扭轉和沿周向折疊振動;第六階是驅動齒輪在 6 個端部伸縮振動，被動齒輪在圓周方向振動折疊。
(2)在自由模態下，第 7 階和第 8 階的頻率非常接近，與 1 階和 2 階頻率相當，因此很容易引起共振現象。接觸模態時，2 階和 3 階頻率非常接近，容易發生共振。因此，在進行齒輪設計時，外部激勵和嚙合內力引起的頻率區域應盡量避免以上區域。
(3)系統固有頻率與結構剛度矩陣、質量矩陣有關。本文中，載荷對質量矩陣的影響可以忽略，頻率隨著結構剛度的增大而提高。
(4)通過齒輪回轉頻率公式 fr=n/60 和嚙合振動頻率公式 fh=nZ/60，可得出該齒輪內部激勵不會使齒輪自身產生劇烈振動。
五、結論
對格里森弧齒錐齒輪進行了自由模態和接觸模態分析。對格里森弧齒錐齒輪在穩態工況下的模態進行了分析，得出了齒輪的接觸應力和前 6 階振型及固有頻率，得出以下結論。
(1)對螺旋錐齒輪模型進行了靜力學分析，驗證了其結構的合理性。弧齒錐齒輪的應力和變形主要集中在接觸區，其次是齒根區的受壓側和受拉側，齒根裂紋后，有裂紋時的最大位移大于無裂紋時的最大位移;小裂紋對接觸應力影響不大，切削刃應力集中導致齒根應力值突變，裂紋尖端附近的應力值比無裂紋時大。傳動開始嚙合時，齒輪嚙合的最大應力出現在輪齒根部。弧齒錐齒輪副的接觸比大，前端承載三個齒，微小裂紋對應力值影響不大。
(2)分析了接觸工況的齒輪系統固有頻率和振動模型。與自由模態分析相比，外載荷不是影響模態的關鍵因素，但其影響不容忽視。固有頻率隨結構剛度的增加而增加。接觸模態的一階頻率為 389.2 Hz，高于弧齒錐齒輪的穩態工作頻率，因此不會出現共振現象，弧齒錐齒輪的設計具有較好的動態特性。模態分析結果弧齒錐齒輪動力學的結構設計和進一步研究提供了理論依據，同時也為齒輪的結構優化和噪聲控制提供了參考依據。
參考文獻略