齒輪作為工業設備的重要組成部件，隨著現代加工工藝的發展，其加工精度要求也在不斷提高。高精密齒輪的加工質量，直接影響了工業設備的工作性能。滾齒加工的方式具有適應性強、加工效率高等優勢，近年來廣泛應用在工業設備中高精密齒輪加工過程中。在實際加工過程中，軸運動、夾具、齒輪加工刀具等都存在引發加工誤差的因素。通常情況下，需要采用誤差預防和誤差補償兩種方法，提升齒輪加工精度。但是，高精密齒輪制作過程中，目前的誤差預防策略難以發揮較好的應用效果。因此，很多學者開始針對誤差補償技術進行研究。
文獻針對加工后的實際齒輪進行測量，在回轉中心和芯軸中心完全重合狀態下，明確齒輪存在的同向誤差和反向誤差。依據芯軸徑向跳動誤差計算修正值，實現齒輪加工誤差補償，但該方法應用后齒輪的齒形法向偏差依舊較大。文獻以齒輪加工過程中工件與刀具的相對運動關系為基礎，結合嚙合原理生成齒面模型。對比實際齒面與理論齒面，建立幾何加工誤差控制模型。分析加工參數敏感性，選取高敏感性的加工參數，計算誤差補償變量。運用最小二乘法描述誤差補償問題，再結合改進 L-M 算法實現誤差補償，但該方法計算復雜度較高。文獻以機床熱變形誤差為核心，通過直接測量和間接測量兩種方式，了解滾齒輪加工刀具與工件主軸的運動關系，構建變形誤差模型，并以此為基礎提出變形誤差補償策略，但該方法操作煩瑣且成本較高。
以解決上述提出誤差補償技術的不足之處為目標，將高精密齒輪作為主要研究對象，提出一種新的加工誤差補償技術。相比傳統的無偏估計計算方法，提出的補償技術運用了敏感系數矩陣計算修正參數，得出更加精確的修正量。根據驗證結果可以看出，所提出的誤差補償技術應用后，齒形法向偏差得到大幅度降低，確保齒輪加工精密滿足工業加工需求。
一、工業設備中高精密齒輪加工誤差補償技術設計
建立高精密齒輪加工模型
刀具切削是高精密齒輪加工的主要環節，為滿足齒輪切削要求，機床運動軸主要包括六個重要組成部分，分別是切削運動軸 B、分齒運動軸 C、軸線走刀運動軸 Z、徑向走刀運動軸 X、切向走刀運動軸 Y、滾刀角度調整軸 A。在伺服電機的驅動作用下，齒輪加工機床的各個運動軸同時開始工作，高齒輪加工具體原理如圖1所示。
圖 1 高精密齒輪加工原理示意圖
圖 1 描述了工業設備中高精密齒輪加工原理，也屬于滾齒加工模式。其中，Z 軸和 B、C、Y 三個軸之間存在聯動性，可實現高精密齒輪加工過程中的展成運動、軸向差動補償運動和切向補償運動，也正是通過這三項運動，將不同運動軸之間的耦合關系描述為：
公式中，s 表示高精密齒輪加工工作臺轉速，w 表示滾刀數量，e 表示齒輪齒數，n 表示滾刀轉速，γ 表示齒輪加工螺旋角，θ 表示滾刀架安裝角，v 表示進給速度，z 表示齒輪軸向，y 表示齒輪切向，vz 表示軸向進給速度，vy 表示切向進給速度，sin 表示正弦函數，cos 表示余弦函數。
通過公式(1)描述了工業滾刀加工設備與待加工齒輪之間的關系，結合二者相關參數獲取高精密齒輪加工嚙合比，明確正常狀態下高精密齒輪加工運動。
測量齒輪齒面離散化誤差
由于工業設備中高精度齒輪的齒面空間具有復雜性，為了便于分析齒輪的齒形誤差，文中運用離散化分析理念比較理論齒面與實際加工齒面，通過二者之間的差異獲取齒形誤差值。針對加工后的高精度齒面進行旋轉投影，運用網格規劃的方法建立投影網格，明確高精度齒輪的齒面形狀以及齒面離散點分布情況，具體如圖 2 所示。以齒輪設計交叉點為原點建立坐標系，在齒坯參數、網格收縮量的共同作用下，明確各離散點的坐標。
圖 2 齒面離散點示意圖
設置圖 2 中 i 軸為齒輪軸線，則齒面上方離散點到齒輪軸線之間的距離以及離散點到坐標原點的距離，分別表示為：
公式中，α 表示離散點到齒輪軸線的距離，也是搖臺角相位角函數，β 表示離散點到坐標原點的距離，也是刀盤相位角函數，r 表示理論齒面離散點徑矢，p 表示齒輪軸線。
明確離散點坐標值后，采用二元迭代法計算對應點在理論齒面的徑矢和法矢，再將圖 2 所示的坐標系轉換為齒輪測量中心坐標系，依據離散點間坐標可以直接描述齒形誤差。齒輪測量中心坐標系是以位于齒面中心的離散點為參考，設置該點的加工誤差為 0。設置測頭從離散點的法矢方向向實際齒面移動，再進行數據處理，獲取齒形誤差值。設置拓撲平面為參考點所在的平面，并設置切點為坐標原點，根據齒形誤差值生成可以描述加工誤差的誤差曲面。
計算加工誤差補償修正量
在高精度齒輪加工之前，確保加工機床的安裝參數在合理范圍內，再以齒輪齒面離散化誤差測量結果為基礎，設計以敏感系數矩陣為核心的誤差補償參數計算方法。
考慮到高精度齒輪加工后，齒形上方任意一點的誤差是多項機床調整參數引起誤差的總體表現，也就是說，各項微小誤差產生的變動量相加形成齒面法向誤差。因此，將理論齒面法向誤差描述為：
公式中，t 表示理論齒面表達式，δ 表示法向誤差，u 表示齒面的曲線參變數，ϑ 表示螺旋參數，h 表示齒輪加工機床，H 表示加工機床總項數，ω 表示機床調整參數的微小變化量。
考慮到曲線參變數向量和螺旋參數向量，均與齒面法矢呈現出垂直關系，則法向誤差可描述為以下公式：
公式中，ζ 表示齒面數據點的法向矢量。在此基礎上，建立齒形法向誤差矩陣：
公式中，c 表示齒面數據點，ε 表示齒面數據點總數，L 表示機床調整參數變化的敏感系數矩陣。
對公式(5)進行求解，可進一步得出敏感系數矩陣，將其看作初始變換矩陣。提取敏感度較高的機床調整參數，作為加工誤差補償的重要對象，計算加工誤差補償參數。
結合法向誤差測量矩陣點和敏感系數矩陣，在最小二乘分析方法的作用下，計算機床參數修正量。機床調整參數實際修正過程中，為確保加工誤差補償效果較好，且不影響齒輪加工操作。文中依托于比例修正參數計算方法，引入 SGM 加工思想，針對主要齒輪加工機床調整參數，設置對應的修正比例參數，分別負責修正齒形螺旋角、齒形齒長曲率、齒形齒廓曲率以及齒形短程撓率。其中，徑向刀位改變量和角向刀位改變量，在每種比例修正參數中都屬于不可或缺的內容。上述提出的 4 種比例修正參數，分別對應高精度齒輪加工補償誤差所涉及的主要調整參數，將其與敏感系數矩陣相結合，可針對齒形誤差測量結果計算出最優修正值。需要注意的是，比例修正參數設置過程中，并未涉及壓力角誤差，這是因為磨齒機砂輪切削刃的壓力角的改變，會對刀具壓力角產生直接影響，從而間接達到補償齒形壓力角誤差的目的。
針對正常狀態下，高精度齒輪加工機床調整參數進行分析，可明確離散點在理論齒面上對應的徑矢、法矢。也就是說，根據敏感系數矩陣和比例修正系數對機床調整參數進行修正后，建立加工誤差補償后的齒面方程。采用最優化計算方法，針對理論齒面各離散點求取最佳齒形誤差，并對上文設置的 4 種比例修正參數，分別給定合理的改變倍數，更好地補償齒形誤差值，保證工業設備中高精度齒輪的理論齒面和實際齒面保持一致。
實現數控在機誤差補償
文中以修正量計算結果為基礎，設計基于數控程序的補償方法，對機床安裝參數進行快速修正，實現齒輪加工誤差補償。文中應用以數控程序為基礎的齒輪加工誤差補償方法，不需要更改加工機床的硬件設備，保證了誤差補償的靈活性。以 NC 程序編程模塊為核心，編寫數控加工補償 NC 代碼，再將其傳遞至高精度齒輪加工系統，實現數控在機誤差補償，該補償方法具體實現模式如圖 3 所示。
圖 3 齒輪加工誤差在機補償模式
圖 3 所示的齒輪加工誤差在機補償模式運行后，累積偏差修正量主要通過三種方法，分別為滾刀轉速的改變、回轉工作臺轉速的改變和滾刀軸向運動的改變。文中綜合上述三種補償方式，在工業設備中高精度齒輪加工誤差補償目標的同時，不影響加工機床的正常嚙合行為。
在機補償系統實踐操作過程中，需要先根據工作臺與滾刀軸之間的嚙合運用模式，了解高精度齒輪加工的整體數控代碼，根據加工誤差補償修正量計算結果，通過 NC 程序編程模塊，得到補償 NC 代碼。在離散化處理后的齒輪加工過程中，插入加工補償函數，并將 NC 程序輸入結果傳遞給加工數控系統，完成齒輪加工誤差補償。
二、應用分析
文中以減少工業設備中高精度齒輪加工誤差為目的提出一種新的誤差補償技術，為了驗證該技術的實際應用效果，特進行應用分析。
應用準備
本次實驗以內齒圓柱直齒輪為研究對象，針對該齒輪加工過程進行分析，得出表 1 所示的工件和機床調整參數，作為誤差補償技術應用效果分析的基礎。
表 1 工件和機床調整參數
為便于分析文中提出技術的誤差補償效果，采用人為給定誤差擾動的方式，將中心距誤差、角度誤差和運動精度誤差分別描述為+0. 5 mm、+0. 2°和+2. 5 r/ min。在此條件下進行工業設備中高精度齒輪加工，并針對加工后的齒輪進行測量，現場測量情況如圖 4 所示。
圖 4 齒輪齒形測量示意圖
將高精度齒輪的中心點表示為 0 mm，左側齒形描述為負數，右側齒形表示為正數齒形寬度。則可得到這些誤差綜合影響之下的齒形測量結果，如圖 5 所示。
圖 5 誤差綜合影響下齒形測量結果
根據圖 5 可知，正常加工狀態下，左側齒形的最大法向偏差為 23. 7μm，而右側齒輪所呈現出的最大法向偏差為 4. 8μm。在上述準備條件下，應用文中提出的誤差補償技術進行齒輪加工誤差補償，再對比補償后齒形測量結果，明確所提技術的可行性。
計算修正量
按照文中研究內容，以敏感系數矩陣法為基礎，進行加工誤差補償分析，得出機床調整參數修正量，與原始機床調整參數相結合，獲取修正后參數值如表 2 所示。
表 2 修正后機床調整參數
從表 2 可以看出，通過敏感系數矩陣求解出的機床調整參數修正量，與人為給定誤差擾動相符，表明修正量計算結果真實，將其輸入數控系統內，實現高精度齒輪加工誤差補償。
誤差補償結果分析
運用修正后的齒輪加工機床，再次進行內齒圓柱直齒輪加工，對加工后齒輪進行現場測量，得到圖 6 所示的齒形測量結果。
圖 6 加工誤差補償后齒形測量結果
為更加直觀地描述所提誤差補償技術的應用效果，分別計算補償前齒輪齒形法向偏差和補償后齒輪齒形法向偏差，得到結果如圖 7 所示。
圖 7 加工誤差補償前后齒形法向偏差對比圖
根據圖 7 所示的補償前后齒形法向偏差對比結果可知，補償前齒形的左側齒形法向偏差呈現出不斷上升的趨勢，右側齒形法向偏差呈現出下降趨勢，但并未保持在誤差為 0 μm 的狀態。而應用文中所提技術進行機床參數修正后，齒輪加工誤差得到補償，補償后左、右齒形的最大法向偏差，均小于 0. 1 μm。對比修正前齒形法 向偏差可以看出，文中提出誤差補償技術具有極佳的修正效果，確保高精度齒輪加工精度保持在合理范圍內。
三、結束語
文中圍繞工業設備中齒輪加工誤差進行研究，提出一種新的誤差補償技術，確保齒輪加工精度滿足高精度要求。從齒輪加工原理入手，對加工產生的誤差深入測量和分析，運用敏感系數矩陣計算出最優修正參數，再通過在機補償技術，在數控系統的作用下，實現加工誤差補償。從實驗驗證結果來看，文中提出的補償技術具有可行性，可實現齒形法向偏差的大幅度降低，保證齒輪加工精度滿足要求。
參考文獻略.